| Førsteordens språk | Førsteordens språk kan representere mer nøyaktige utsagn/utsagn med mer detaljer enn utsagnslogikk
Predikatlogikk(førsteordens logikk), utvidet med kvantorer: ∃, ∀
Ein bruker desse kvantorane til å representere kvantifiserte utsagn.
Består av logiske, og ikke-logiske symboler.
Random:
- Mengdene av variabler, konstantsymboler, funksjonssymboler og relasjonssymboler må være disjunkte.
- Relasjon-, og funksjonssymboler har en aritet, som betyr at de er assosiert med et naturlig tall. |
| ∃ | Eksistenskvantoren:
Det finnes et objekt med en bestemt egenskap |
| ∀ | Allkvantoren:
Alle objekter har en bestemt egenskap |
| Dei logiske symbola | ∧, ∨, →, ¬, ∃, ∀, en uendelig og tellbar mengde av variabler, i tillegg til kommaer og parenteser. |
| Dei Ikke-logiske symbola | konstantsymbol, funksjonssymbol og relasjonssymbol |
| Signatur | De ikke logiske symbolene utgjør signaturen. Skrives som et tuppel av tre mengder slik:
<a,b,c,… ; f,g,h,…. ; R,S,T,….>
Først er det konstantsymbolene, så funksjonssymbolene og til slutt relasjonssymbolene |
| Førsteordens termer | Minste bestanddelene av et førsteordens språk
Eksempel i mengdelærespråket med signaturen <Ø; ∪, ∩; =, ∈ >
- Termer: (x ∩ y), (Ø ∪ z), ((x ∩ y) ∪ z)
- Ingen relasjonssymboler forekommer i førsteordens termer, termene referer til elementer i en mengde.
- Man vil få uendelig mengde med termer, med endelig antall symboler i hver term. |
| Atomære formlar | Hvis R er et relasjonssymbol med aritet > 0, og t1,…,tn er termer, er R(t1,…,tn) en atomær formel.. Hvis ariteten = 0 er R en atomær formel.
Eksempel i det enkle språk
Signatur <a; f,g; P, R>, ariteten til f og P er 1, og til g og R er den 2.
Noen formler: Pa, Px, Pfx, Pffa, Pgaa, Raa, Rafx, Rgxaa |
| Førsteordens formel | Mengden av førsteordens formler er den minste mengden slik at:
- Alle atomære formler er formler
- Hvis F og G er formler, er ¬F, (F ∧ G), (F ∨ G), (F → G) formler.
- Hvis F er en formel og x er en variabel , er ∀xF og ∃xF formler
Alle forekomster av en variabel x i F sies å være bundet i formlene ∀xF og ∃xF og innenfor skopet til den gjeldende kvantoren.
Skop er hvor variabelen er synlig. |
