| che cosa afferma il teorema centrale del limite?
fai un esempio di caso di utilizzo. | afferma che la distribuzione di medie campionarie di un numero sufficientemente grande di variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite (i.i.d.) tende ad assumere una forma di distribuzione normale, indipendentemente dalla distribuzione originaria delle singole variabili. esempio: se avessi molte variabili aleatorie e volessi calcolare la probabilita´ che tutte siano uguali a 'w' dovrei fare per tutte P(Xi = w) che sono molti calcoli |
| come viene rappresentata la popolazione in statistica inferenziale? | come una variabile aleatoria X ∼ F(θ) di supporto Dx |
| che cosa rappresenta una statistica o uno stimatore?
quali tipi di statistica esistono? | Una statistica o stimatore, non è altro che una funzione t : Dxn → R dove presi n valori del campione produce una stima T = t(X1, . . . , Xn). Ovvero un algoritmo che applico, il cui input è il mio campione e l’output è la stima di qualcosa che non conosco. Così la mia statistica mi permette di conoscere F.
può essere di due tipi:
- statistica parametrica : F è parzialmente sconosciuta (non si conoscono alcuni parametri) e si assume che i valori siano generati da una particolare famiglia di distribuzioni
- statistica non parametrica : F è completamente sconosciuta e non si fanno ipotesi sulla forma specifica della distribuzione sottostante |
| che cosa si intende per distorsione in uno stimatore? | La distorsione di uno stimatore, detta anche bias, è la differenza tra il valore atteso dello stimatore e il vero valore del parametro che si vuole stimare. In altre parole, la distorsione indica quanto uno stimatore tende a sovrastimare o sottostimare il parametro in media |
| che cosa è il mean square error? | è una metrica che viene utilizzata per determinare |
| come viene definito il Bias?
come posso riscrivere la definizione di errore quadratico medio data la def. di bias?
e se lo stimatore non è deviato? | il bias viene descritto con la formula: quindi (dimostrazione 7.4) posso riscrivere MSE: e se lo stimatore non è deviato il bias = 0: |
| quando uno stimatore si dice consistente in media quadratica?
quando invece si dice debolmente consistente? | consistente in media quadratica -> il suo errore quadratico medio (MSE) tende a zero al crescere della dimensione del campione
debolmente consistente -> la sua distribuzione di probabilità converge alla distribuzione di probabilità del parametro che si vuole stimare al crescere della dimensione del campione |
| cosa afferma la legge dei grandi numeri? | in forma forte: all'aumentare di elementi del campione(n), la media campionaria si avvicina al valore atteso della popolazione in forma debole: la probabilità che la media si discosti dal valore atteso per al piu di ε tende a 0 all'aumentare di n |
| che cosa è τˆ? | τ(θ) indica la quantità da stimare.
quindi si può affermare che:
τˆ è una approssimazione di τ(θ)
poichè possono esisterne di più con variabili che hanno valori diversi |
| quando posso dire che uno stimatore non è deviato? | uno stimatore non è deviato o non deviato per definizione ma lo risulta in confronto al campione che viene analizzato,
lo stimatore t si dice non deviato di τ(θ) se E(t(X1,...,Xn)) = τ(θ)
da ciò ne consegue che il bias = 0 |
| che relazione intercorre fra lo scarto quadrtico medio MSE e il corrispettivo stimatore sia non deviato per la quantità da stimare? | l'MSE è interpretabile come la varianza di t, come spiegato nella seguente |
| dimostrare che :
se T è consistente in media quadratica per τ(θ),
allora T è debolmente consistente per τ(θ) | si questa proprietà è dimostrabile |
| in quale modo la stima dell'errore coinvolge il TCL? | 7.7 il teorema centrale del limite viene impiegato nella seguente formula per il calcolo della probabilità che l'errore sia minore di r in particolare nel passaggio: |
| Cos’è uno stimatore? | è una regola o funzione che ci permette di stimare un parametro incognito della distribuzione di una popolazione basandosi su un campione estratto da essa |
| trovare uno stimatore per una variabile binomiale Bin(n, p) per T(p) = p | 7.2.2 sapendo che il valore atteso della media è n x p e che il valore atteso della media è uguale al E(x).. posso portare a destra il parametro n che grazie alla proprietà di linearità quindi è uno stimatore non deviato |
| Definisco con X ∼ E(λ) il numero di minuti attesi in coda, dare uno stimatore per il tempo medio di attesa | il tempo medio di attesa è il valore atteso di X ovvero 1/λ = τ(λ)si usa la media campionaria che è proprio τ(λ) ! |
| se lo stimatore non è deviato a cosa equivale il MSE? | data la definizione di bias posso ridefinire il MSE come: |
| dimostra che se T è consistente in media quadratica per τ(θ), allora T è debolmente consistente per τ(θ) | 7.5.1 dimostrazione:
partendo dalla consistenza debole, controllo che succedo assumendo la consistenza quadratica.
la tendenza a 1 dimostra la consistenza debole ! |
| Ipotizzo una popolazione X ∼ B(p) e voglio conoscere il parametro θ = p, dunque τ(θ) = τ(p) = p. Siamo in possesso di un campione X1, X2, X3 e lo vogliamo usare nello stimatore t(X1, X2, X3) = (X1 + X2 + X3) /5.
lo stimatore è corretto per p?
(non deviato, bias, mse) | 7.5.2 soluzione: è distorto l'MSE: |
| variabile aleatoria X ~ U (0, θ), dare uno stimatore | 7.5.3 nel primo caso la media non risulta non deviato molto meglio utilizzare 2(media) |
| Ipotizzo X ∼ N(μ,σ) e immagino di avere un campione X1,X2. Mi piacerebbe conoscere σ, dunque θ = σ, τ(θ) = τ(σ) = σ2 (stimare in maniera non distorta la deviazione standard non mi `e facile dunque provo a stimare la varianza). Sono in possesso dello stimatore T = (X1)^2 − X1X2, `e buono? | 7.5.4 soluzione: calcolando il valore atteso si ottiene proprio la varianza! |
| quale è la differenza fra bias e MSE? | Bias: quanto uno stimatore tende a sovrastimare o sottostimare (in media) il parametro
MSE: quanto le stime sono disperse attorno al valore del parametro |
| per sommare variabili aleatorie quali requisiti sono necessari ? | 1) che esse siano indipendenti
2) che tutte le variabili abbiano la stessa distribuzione |
| quando si vuole stimare il valore atteso di una variabile aleatoria... ? | non è una cattiva idea utilizzare la media campionaria [scrivere il perchè] |
| come si può approssimare E(x1)? | con E(X) [specificare il perchè] |
| che cosa è la funzione di massima verosomiglianza? | è una funzione utilizzata dai cosiddetti stimatori di massima verosomiglianza i quali provano a trovare i valori del parametro che massimizzano la verosomiglianza con i dati osservati.
la f. è una funzione che rappresenta la probabilità dei dati osservati in funzione dei parametri del modello |
| utilizzando la tecnica della massima verosomiglianza abbiamo la certezza di trovare degli stimatori non deviati? | no, come nel caso che abbiamo visto a lezione per la stima di entrambi i parametri di una variabile con distribuzione normale |
| quali metodi esistono per la stima di un parametro? | - metodo di massima verosimiglianza:
viene calcolata la funzione di verosimiglianza (la produttoria delle funzioni di massa/densitá) poi per trovare il punto massimo se ne calcola la derivata per trovare effettivamente il valore di massima verosimiglianza
[PUO' PORTARE AL CALCOLO DI DERIVATE PARZIALI]
- metodo plug in
si usano dati campionari (come media o varianza) per poter, tramite delle trasformazioni trovare uno stimatore |
| fare un esempio del caso in cui il metodo plug in non funziona | caso di stima di una variabile Esponenziale,
utilizzando il valore atteso per stimare lambda.
a meno che non si approssimi il valore atteso con la media non si riesce a trovare uno stimatore |
| come faccio nel caso avessi un campione a sapere che distribuzione assume? | posso calcolare la funzione cumulativa empirica per poi confrontarla con la funzione di ripartizione delle varie distribuzioni che conosco). se una di queste coincide con allora posso affermare che il campione segue quella distribuzione.si potrebbe in altri modi dire che l'ECDF sia uno stimatore per la funzione di ripartizione |
