| Reálná funkce dvou reálných proměnných | Zobrazení f: A -> R, kde A náleží R^2, tedy zobrazení podmnožiny R^2 do množiny reálných čísel, se nazývá reálná funkce dvou reálných proměnných. |
| Množina otevřená, uzavřená, omezená, kompaktní | Nechť M náleží R^2. Množina M se nazývá:
Otevřená, jestliže neobsahuje žádný hraniční bod.
Uzavřená, jestliže obsahuje všechny své hraniční body.
Omezená, jestliže je podmnožinou okolí nějakého bodu.
Kompaktní, jestliže je uzavřená a omezená. |
| Zobecněná Weierstrassova věta | Funkce dvou proměnných spojitá v neprázdné kompaktní množině má na této množině maximum a minimum.
Důležitá pro vyšetřování extrémů funkce dvou proměnných. |
| Parciální derivace | Nechť f je funkce dvou proměnných. Funkce dvou proměnných ??? ,resp. ??? definovaná předpisem ???(?, ?) = ?´ 1 (?), ????. ???(?, ?) = ?´ 2 (?) se nazývají parciální derivace funkce f podle x (resp. y). Funkce ?1 (????. ?2) je zúžení funkce f na funkce jedné proměnné x (resp. y). |
| Lokální extrémy funkcí dvou proměnných | Nechť M je podmnožina definičního oboru funkce dvou proměnných f. Jestliže pro všechna ? = [?, ?] ∈ ? platí ?(?) ≤ ?(?), ????. ?(?) ≥ ?(?), říkáme, že funkce f má v bodě ? = [?1, ?2 ] maximum (resp. minimum) na množině M. Maximum a minimum funkce jsou tzv. extrémy funkce. Pozn. Pokud množina M je jen okolí bodu C, hovoříme o tzv. lokálních extrémech funkce. Když M = D(f), má funkce f v bodě C absolutní extrém. |
| Nutná podmínka pro lokální extrém funkce dvou proměnných | Má-li funkce dvou proměnných ve vnitřním bodě C ∈ D(f) lokální extrém a existuje derivace f´(C), pak f´(C)=(0,0). |
| Postačující podmínka pro lokální extrém funkce dvou proměnných | Nechť C je vnitřní bod D(f), ve kterém f´(C)=(0,0) a funkce dvou proměnných f má v okolí bodu C spojité druhé parciální derivace:
D1 = druhá parc. derivace z x
D2 = determinant druhých parciálních derivací
Jestliže obě čísla jsou kladné, v bodě leží lokální minimum.
Jestliže je D2 kladné a D1 záporné, pak zde leží lokální maximum.
Pokud je D2<0, v bodě C není lokální extrém. |
| Výpočet absolutních extrémů spojité funkce na kompaktní množině s vnitřními body | Extrémy spojité funkce na neprázdné kompaktní množině podle zobecněné Weierstrassovy věty existují.
Postup:
1) Najdeme podezřelé body z extrému uvnitř množiny (nutná podmínka)
2) Najdeme podezřelé body z extrému uvnitř množiny
3) Vypočteme funkční hodnoty ve všech podezřelých bodech a vybereme z nich největší a nejmenší |
