Věty pro 4MM106
🇨🇿
In Czech
In Czech
Practice Known Questions
Stay up to date with your due questions
Complete 5 questions to enable practice
Exams
Exam: Test your skills
Test your skills in exam mode
Learn New Questions
Manual Mode [BETA]
The course owner has not enabled manual mode
Specific modes
Learn with flashcards
Listening & SpellingSpelling: Type what you hear
multiple choiceMultiple choice mode
SpeakingAnswer with voice
Speaking & ListeningPractice pronunciation
TypingTyping only mode
Věty pro 4MM106 - Leaderboard
Věty pro 4MM106 - Details
Levels:
Questions:
79 questions
| 🇨🇿 | 🇨🇿 |
| Gaussova a Jordanova metoda | Gaussova: převedeme matici na trojúhelníkový tvar Jordanova: převedeme na jednotkovou matici (nulujeme pod a nad hlavní diagonálou, na hlavní diagonále samé jedničky) |
| Věta o maticovém řešení soustavy | Jestliže matice A je regulární, pak soustava lineárních rovnic Ax = b má právě jedno řešení x = A^-1 * b |
| Maticové rovnice | Jestliže A je regulární matice řádu n, B je libovolná matice typu n x p, pak maticová rovnice AX=B má právě jedno řešení X=A^-1*B. Za stejných podmínek má rovnice XA=B právě jedno řešení X=B*A^-1 |
| Věta o navzájem inverzních maticích | Je-li A regulární matice, pak matice k ní inverzní A-1 je opět regulární a platí (A^-1)^-1 = A. |
| Věta o existenci a jednoznačnosti inverzní matice | Inverzní matice A existuje jen tehdy, když A je regulární. je-li A regulární matice, pak inverzní matice k matici A je určena jednoznačně. |
| Inverzní matice | Nechť A je čtvercová matice. Matice X, pro kterou platí AX = J se nazývá inverzní matice k matici A. |
| Regulární a singulární matice | Matice A se nazývá regulární, jestliže je čtvercová a má lineárně nezávislé řádky. Čtvercová matice, jejíž řádky jsou lineárně závislé, se nazývá singulární. |
| Součin matic | Nechť A je matice typu m x n, B je matice typu n x p (stejný počet řádků). Matice X typu m x p, pro jejíž prvky xij (i=1,...,m; j=1,...n) platí xij = skalární součin i-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B se nazývá součin matic A,B a značí se AB. |
| Reálný násobek matice | Nechť A je matice typu m x n, c je reálné číslo. Matice X typu m x n, pro jejíž prvky platí xij = caij (i=1,...,m;ji1,...,n) se nazývá reálný násobek matice A značí se cA. |
| Součet matic | Nechť A, B jsou matice typu m x n. Matice X typu m x n, pro kterou platí xij = aij + bij (i=1,2...,m;j=1,...,n) se nazývá součet matic A,B a značí se A+B. X tedy odpovídá součtu složek v matici A a B. |
| Věta o počtu řešení soustavy | Předpokládejme, že soustava lineárních rovnic (S) má řešení, h je hodnost matice soustavy a n je počet neznámých. Potom platí: a) Jestliže h=n, pak má soustava právě jedno řešení. b) Jestliže h<n, soustava má nekonečně mnoho řešení, přičemž za n-h neznámých lze volit libovolná reálná čísla a ostatní neznámé jsou určeny jednoznačně. |
| Věta o počtu řešení homogenní soustavy | Homogenní soustava lineárních rovnic má vždy řešení. Označíme-li h hodnost matice soustavy a n za počet neznámých, platí: a) Jestliže h=n, pak má homogenní soustava jediné řešení x=(0, ... ,0). b) Jestliže h<n, pak má homogenní soustava nekonečně mnoho řešení, přičemž za n-h neznámých lze volit libovolná reálná čísla a ostatní neznámé jsou určeny jednoznačně. |
| Homogenní soustava lineárních rovnic | V homogenní soustavě lineárních rovnic jsou všechny pravé strany rovnic rovné nule. |
| Frobeniova podmínka | Soustava lineárních rovnic (S) má řešení jen tehdy, když hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice. h = hr |
| Věta o hodnosti transponované matice | Jsou-li A a A' navzájem transponované matice, jejich hodnost je stejná. |
| Transponovaná matice a její hodnost | Matice A', která vznikne tak, že zaměníme řádky za sloupce, přičemž zachováme jejich pořadí, se nazývá matice transponovaná k matici A. Jestliže v matici A zaměníme pořadí sloupců, pak takto vzniklá matice má s maticí A stejnou hodnost. |
| Definice determinantu 2. a 3. řádu | Determinant druhého řádu se počítá odečtením součinu položek na hlavních diagonálách. Determinant třetího řádu se dá spočítat Sarusovým pravidlem. |
| Výpočet determinantů vyšších řádů | Determinant čtvrtého a vyššího řádu se dá počítat rozvojem nebo převodem na trojúhelníkový tvar. |
| Věta o rozvoji determinantu | Jestliže A je čtvercová matice řádu n. pak pro i=1,...,n platí: det A = (-1)^i+1 * ai1 * subdeterminant, který vznikne z determinantu matice A po vynechání i-tého řádku a j-tého sloupce. |
| Věta o determinantu transponované matice | Det A = det A' |
| Věta o řadových úpravách determinantu | Pro řadové úpravy determinantu platí: Násobíme-li libovolnou řadu determinantu číslem c, potom se číslem c násobí celý determinant. Vyměníme-li navzájem v determinantu dvě rovnoběžné řady, pak determinant změní znaménko. Přičteme-li k některé řadě determinantu libovolnou lineární kombinaci řad s ní rovnoběžných, pak se hodnota determinantu nezmění. |
| Věta o determinantu trojúhelníkové matice | Je-li čtvercová matice A trojúhelníková, pak její determinant je roven součinu prvků na hlavní diagonále. |
| Cramerovo pravidlo | Mějme soustavu n lineárních rovnic o n neznámých x1,...,xn. Jestliže matice soustavy A je regulární, pak má soustava právě jedno řešení, které se dá rozepsat ve tvaru xj = det Aj/det A (j=1,...,n), kde Aj je matice, která vznikne z matice soustavy A po náhradě j-tého sloupce sloupcem pravých stran rovnic soustavy. |
| Charakteristická čísla matice | Nechť A je čtvercová matice. Komplexní číslo λ vyhovující rovnici det (A - λj) = 0 se nazývá charakteristické (vlastní) číslo matice A. Rovnice det (A - λj) = 0 se nazývá charakteristická rovnice matice A. |
| Lineární kombinace vektorů | Říkáme, že vektor x je lineární kombinací vektoru x1,...,xr, jestliže existují reálná čísla c1, ... ,cr, z nichž alespoň jedno je je různé od nuly; (c1*x1+ ...cr*xr = O. V opačném případě jsou vektory nezávislé. |
| Skalární součin | Skalární součin vektorů (x1,...,xn) a (y1,...,yn) je reálné číslo, které je definováno vztahem xy = x1*y1+ x2*y2 ... + xn*yn. |
| Lineární závislost a nezávislost vektorů | Vektory x1, ... , xr se nazývají lineárně závislé, jestliže existuje jejich netriviální lineární kombinace, která je rovna nulovému vektoru. Tedy jestliže existují reálná čísla c1, ... , cr z nichž alespoň jedno je různé od nuly: (c1 * x1 + ... + cr * xr = 0). V opačném případě jsou nezávislé. |
| Nutná a postačující podmínka lineární závilosti vektorů | Vektory x1, ... , xr jsou lineárně zavislé jen tehdy, když alespoň jeden z nich je lineární kombinací ostatních. |
| Matice | Uspořádané schéma reálných čísel se nazývá matice typu m x n. |
| Rovnost matic | Matice si jsou rovné, jestliže jsou všechny složky totožné a na stejných místech. |
| Čtvercová matice | Matice typu n x n se nazývá čtvercová matice řádu n. |
| Hodnost matice | Maximální počet lineárně nezávislých řádků matice A se nazývá hodnost matice. |
| Věta o hodnosti trojúhelníkové matice | Je-li trojúhelníková matice typu m x n, pak je její hodnost rovna počtu řádků. |
| Věta o elementárních řádkových úpravách matice | Hodnost matice se nezmění, pokud v ní uděláme následující tzv. elementární řádkové úpravy: -zaměníme pořadí řádků -vynásobíme libovolná řádek nenulovým reálným číslem -přičteme k libovolnému řádku matice lin. kombinaci ostatních -vynecháme řádek matice, který je lineární kombinací ostatních |
| Věta o limitě funkce typu a/0 | Jestliže lim x->c f(x) je typu "a/0", kde a ≠ 0 a funkce f je v prstencovém okolí bodu c kladná (resp. záporná), pak lim x->c f(x) = +∞, resp. lim x->c = -∞. |
| Limita funkce | Nechť funkce f je definována v prestencovém okolí bodu c ∈ R*. Říkáme, že funkce f má v bodě c limitu a ∈ R*, jestliže pro každou posloupnost (xn) obsaženou v D(f)-c platí: když xn -> c, pak f(xn) -> a. |
| Bolzanova věta | Je-li funkce f spojitá v uzavřeném intervalu <a,b> a f(a) * f(b) < 0, pak existuje c ∈ (a,b) takové, že funkční hodnota v bodě c je nula. |
| Weierstrassova věta | Funkce spojitá v uzavřeném intervalu <a,b> má v tomto intervalu maximum i minimum. |
| Spojitost elementárních funkcí | Každá elementární funkce je spojitá v libovolném intervalu, ve kterém je definována. |
| Věta o limitě vybrané posloupnosti | Jestliže posloupnost (an) má limitu, pak každá posloupnost z ní vybraná má tutéž limitu. |
| Věta o limitě sevřené posloupnosti | Nechť (an), (bn), (cn) jsou reálné posloupnosti. Jestliže od jistého indexu n0 počínaje an ≤ bn ≤ cn a lim lim an = lim cn, pak existuje lim bn = lim an =lim cn. |
| Věta o limitě konstantní posloupnosti | Je-li (an) konstantní posloupnost, tedy an = a pro n ∈ N, pak existuje lim n->+∞ an a platí lim n->+∞ an = a. |
| Věta o jednoznačnosti limity | Každá posloupnost má nejvýše 1 limitu. |
| Okolí bodu | Otevřená interval (a-ε,a+ε), kde ε > 0, se nazývá okolí bodu a ∈ R. Interval (λ,+∞), kde λ ∈ R, se nazývá okolí bodu +∞ Interval (-∞, λ), kde λ ∈ R, se nazývá okolí bodu -∞ |
| Limita posloupnosti | Říkáme, že posloupnost (an) má limitu a ∈ R*, jestliže v každém okolí bodu leží všechny členy posloupnosti an od jistého indexu n0 počínaje. |
| Posloupnost | Zobrazení množiny přirozených čísel N do množiny reálných čísel R se nazývá reálná posloupnost. Vybraná posloupnost: nechť (kn) je rostoucí posloupnost přirozených čísel (indexů). Pak se posloupnost (akn) nazývá vybraná posloupnost z posloupnosti (an). |
| Věta o limitě aritmetických operací | Nechť (an) a (bn) jsou reálné posloupnosti. Pak platí: lim (an ± bn) = lim an ± lim bn lim (an * bn) = lim an * lim bn lim (an/bn) = lim an/lim bn Pokud existují lim an, lim bn a operace na pravé straně vztahů jsou definovány. |
| Věta o významu 2. derivace pro průběh funkce | Nechť f je spojitá funkce v intervalu J. Jestliže f''(x) > 0, resp. f''(x) < 0 ve vnitřních bodech x ∈ J, pak funkce f je konvexní (resp. konkávní) v intervalu J. |
| Co zjišťujeme u průběhu funkce? | Zjišťujeme: -Definiční obor -spojitost v D(f) -sudost, lichost, periodičnost -nulové body funkce a intervaly, ve které je kladná, popř. záporná -intervaly, ve kterých je funkce rostoucí, resp. klesající a lokální extrém -intervaly, ve kterých je funkce konvexní/konkávní a inflexní body. -limity v krajních bodech D(f) |
| Průběh funkce | Zjišťujeme: |
| Postačující podmínka pro lokální extrém | Nechť c je vnitřní bod D(f), ve kterém f'(c)=0. Jestliže f''(c)>0 (resp. f''(c)<0) pak funkce f má v bodě c lokální minimum (resp. lokální maximum). |
| Nutná podmínka pro lokální extrém | Má-li funkce f ve vnitřním bodě c ∈ D(f) lokální extrém, pak f'(c) = 0 nebo f'(c) neexistuje. |
| Lokální a absolutní extrém | Pokud množina M je jen okolí bodu C, hovoříme o tzv. lokálních extrémech funkce. Když M = D(f), má funkce v bodě absolutní extrém. |
| Věta o významu 1. derivace pro průběh funkce | Nechť f je spojitá funkce v intervalu J. Jestliže f'(x) > 0, resp. f'(x) < 0 ve vnitřních bodech x ∈ J, pak funkce f je rostoucí (resp. klesající) v intervalu J. |
| L'Hospitalovo pravidlo | Jestliže limita podílu dvou funkcí je 0/0 nebo ∞/∞, pak se rovná podílu derivací funkcí, pokud limita na pravé straně vztahu existuje. |
| Věta o vztahu derivace a spojitosti funkce | Má-li funkce f v bodě c derivaci, pak je v bodě c spojitá. |
| Derivace funkce v bodě | Nechť funkce f je definována v okolí bodu c. Číslo f'(c), definované vztahem f'(c) = lim h->0+ ((c+h)-f(c))/h se nazývá derivace funkce f v bodě c. |
| Geometrická interpretace derivace | Derivace funkce f v bodě c je rovna směrnici tečny grafu funkce f v bodě (c,f(c)), tedy f'(c) = tg α, kde α je úhel, který svírá tato tečna s kladnou poloosou x. Neformálně: Derivaci funkce lze definovat jako změnu – růst či pokles – obrazu této funkce, a to za předpokladu možnosti nekonečně malých změn. Pokud funkce například popisuje rychlost pohybu nějakého tělesa, derivace této funkce bude udávat zrychlení pohybu v určitém bodě. Derivace funkce je zároveň sklonem funkce v daném bodě. Na grafu ji lze proto zobrazit jako tečnu funkce v daném bodě. |
| Neurčitý integrál | Libovolnou primitivní funkci k funkci f v intervalu J budeme značit∫f, resp. ∫f(x) dx a říkat jí neurčitý integrál funkce f. |
| Nevlastní integrál | Nechť funkce f není v bodě a definována (resp. a= -∞) a v intervalu (a,b>k ní existuje primitivní funkce. Integrál ∫ ? ? ? , ????. ∫ ? ? −∞ , definovaný vztahem ∫ ? ? ? = ????→?+ ∫ ? ? ? , ????. ∫ ? ? −∞ = ????→−∞ ∫ ? ? ? , se nazývá nevlastní integrál funkce f vlivem dolní meze. |
| Věta o aditivitě určitého integrálu | Integrály ve stejném rozsahu se dají sčítat. Pokud je funkce sudá, je výsledek kladný, pokud lichá, výsledek je 0. |
| Newtonův určitý integrál a jeho geometrická interpretace | Nechť k funkci f existuje v intervalu <a,b> primitivní funkce F. Reálné číslo definované vztahem F(b)-F(a) se nazývá Newtonův určitý integrál funkce od a do b. Geometrická interpretace: Je-li funkce f v intervalu <a,b> spojitá a nezáporná, pak určitý integrál je roven obsahu plochy omezené grafem funkce f, osou x a přímkami x = a, x = b. Určitý integrál je reálné číslo. |
| Věta o integraci Per Partes | Jestliže existují derivace f' a g' a integrál ∫f' g v intervalu J, pak při vhodné volbě integračních konstant je ∫f*g' = f * g - ∫f' * g |
| Věta o existenci primitivní funkce | Jestliže je funkce f spojitá v intervalu J, pak k ní v tomto intervalu existuje primitivní funkce. |
| Primitivní funkce | Funkce F, pro kterou platí F'(x) = f(x) pro všechna x ∈ J, se nazývá primitivní funkce k funkci f v intervalu J. Primitivní funkce k funkci f v intervalu J může, ale nemusí existoval. Jednoduchou postačující podmínkou je spojitost funkce. Jestliže f je elementární funkce a interval J je D(f), pak k funkci f v intervalu J existuje primitivní funkce. |
| Věta o integraci substitucí | Jsou-li f, g funkce a f [g] jejich superpozice, pak při vhodné volbě integračních konstant platí ∫f [g] * g' = (∫f)[g], pokud tyto integrály existují. |
| Lokální extrémy funkcí dvou proměnných | Nechť M je podmnožina definičního oboru funkce dvou proměnných f. Jestliže pro všechna ? = [?, ?] ∈ ? platí ?(?) ≤ ?(?), ????. ?(?) ≥ ?(?), říkáme, že funkce f má v bodě ? = [?1, ?2 ] maximum (resp. minimum) na množině M. Maximum a minimum funkce jsou tzv. extrémy funkce. Pozn. Pokud množina M je jen okolí bodu C, hovoříme o tzv. lokálních extrémech funkce. Když M = D(f), má funkce f v bodě C absolutní extrém. |
| Výpočet absolutních extrémů spojité funkce na kompaktní množině s vnitřními body | Extrémy spojité funkce na neprázdné kompaktní množině podle zobecněné Weierstrassovy věty existují. Postup: 1) Najdeme podezřelé body z extrému uvnitř množiny (nutná podmínka) 2) Najdeme podezřelé body z extrému uvnitř množiny 3) Vypočteme funkční hodnoty ve všech podezřelých bodech a vybereme z nich největší a nejmenší |
| Postačující podmínka pro lokální extrém funkce dvou proměnných | Nechť C je vnitřní bod D(f), ve kterém f´(C)=(0,0) a funkce dvou proměnných f má v okolí bodu C spojité druhé parciální derivace: D1 = druhá parc. derivace z x D2 = determinant druhých parciálních derivací Jestliže obě čísla jsou kladné, v bodě leží lokální minimum. Jestliže je D2 kladné a D1 záporné, pak zde leží lokální maximum. Pokud je D2<0, v bodě C není lokální extrém. |
| Nutná podmínka pro lokální extrém funkce dvou proměnných | Má-li funkce dvou proměnných ve vnitřním bodě C ∈ D(f) lokální extrém a existuje derivace f´(C), pak f´(C)=(0,0). |
| Parciální derivace | Nechť f je funkce dvou proměnných. Funkce dvou proměnných ??? ,resp. ??? definovaná předpisem ???(?, ?) = ?´ 1 (?), ????. ???(?, ?) = ?´ 2 (?) se nazývají parciální derivace funkce f podle x (resp. y). Funkce ?1 (????. ?2) je zúžení funkce f na funkce jedné proměnné x (resp. y). |
| Zobecněná Weierstrassova věta | Funkce dvou proměnných spojitá v neprázdné kompaktní množině má na této množině maximum a minimum. Důležitá pro vyšetřování extrémů funkce dvou proměnných. |
| Množina otevřená, uzavřená, omezená, kompaktní | Nechť M náleží R^2. Množina M se nazývá: Otevřená, jestliže neobsahuje žádný hraniční bod. Uzavřená, jestliže obsahuje všechny své hraniční body. Omezená, jestliže je podmnožinou okolí nějakého bodu. Kompaktní, jestliže je uzavřená a omezená. |
| Reálná funkce dvou reálných proměnných | Zobrazení f: A -> R, kde A náleží R^2, tedy zobrazení podmnožiny R^2 do množiny reálných čísel, se nazývá reálná funkce dvou reálných proměnných. |
| Diferenciální rovnice n-tého řádu | Rovnice pro neznámou funkci y jedné reálné proměnné x, ve které se také vyskytují její derivace, se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu. |
| Obecné a partikulární řešení | Obecné řešení = všechna řešení rovnice Partikulární = konkrétní řešení vzhledem k počáteční podmínce |
| Počáteční podmínky | Z vět o obecném řešení lineární dif. rovnice a zkrácené lineární dif. rovnice plyne, že (Ln) ná nekonečně mnoho řešení. Pro rovnice tohoto typu platí: Jestliže k lineární diferenciální rovnici n-tého řádu přidáme n počátečních podmínek, pak řešení této rovnice je jednoznačné. |
| Věta o obecném řešení lineární diferenciální rovnice | Obecné řešení lineární diferenciální rovnice je součet partikulárního řešení této rovnice a obecného řešení odpovídající rovnici zkrácené. Můžeme ji psát jako Obecné řešení (Ln) = partikulární řešení (Ln) + obecné řešení (Zn). |
| Věta o obecném řešení zkrácené lineární rovnice | Obecné řešení zkrácené lineární dif. rovnice n-tého řádu (Zn) je lineární kombinace lineárně nezávislých řešení této rovnice. |